14665. Точки P'
, Q'
и R'
— параллельные проекции вершин соответственно P
, Q
и R
треугольника PQR
. Докажите, что тетраэдры P'Q'R'P
и PQRP'
равновелики.
Решение. Точки R
и R'
— общие вершины тетраэдров P'Q'R'P
и PQRP'
, а основания PP'Q'
и PP'Q
этих тетраэдров лежат в одной плоскости. Поскольку прямые QQ'
и PP'
параллельны, высоты треугольников PP'Q'
и PP'Q
, опущенные на их общее основание QQ'
, равны. Значит, эти треугольники равновелики.
Прямая RR'
параллельна плоскости параллельных прямых PP'
и QQ'
, поэтому высоты этих тетраэдров, проведённые из вершин R'
и R
, равны. Следовательно, объёмы тетраэдров равны. Что и требовалось доказать.
Источник: Канадские математические олимпиады. — 1981
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1981, № 6, задача 5, с. 176