14666. Дан пространственный четырёхугольник ABCD
(не все его вершины лежат в одной плоскости), в котором
\angle ABC=\angle BCD=\angle CDA=90^{\circ}.
Докажите что угол DAB
острый.
Решение. Сумма двух плоских углов трёхгранного угла, больше его третьего плоского угла (см. задачу 7428), поэтому
\angle CDB+\angle ADB\gt\angle CDA=90^{\circ}~\mbox{и}~\angle CBD+\angle ABD\gt\angle ABC=90^{\circ}.
Сумма всех шести углов треугольников ABD
и CBD
с общей стороной BD
равна 360^{\circ}
. Значит,
\angle DAB=360^{\circ}-\angle ADB-\angle ABD-\angle CDB-\angle CBD-\angle BCD=
=360^{\circ}-(\angle CDB+\angle ADB)-(\angle CBD+\angle ABD)-\angle BCD\lt
\lt360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.