14681. Дан тетраэдр A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}
. На его гранях, противоположных вершинам A_{1}
, A_{2}
и A_{3}
, вне его построены тетраэдры с вершинами A_{1}'
, A_{2}'
и A_{3}'
, объёмы которых равны V_{1}
, V_{2}
и V_{3}
соответственно. Пусть B
— точка пересечения плоскостей, проходящих через точки A_{1}'
, A_{2}'
и A_{3}'
параллельно плоскостям A_{2}A_{3}A_{4}
, A_{1}A_{3}A_{4}
и A_{1}A_{2}A_{4}
соответственно, A_{4}'
— точка, для которой \overrightarrow{A_{1}A_{4}'}=\overrightarrow{BA_{4}}
, а V_{4}
— объём тетраэдра A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}'
. Докажите, что V_{4}=V_{1}+V_{2}+V_{3}
.
Решение. Точки B
и A_{1}'
лежат в плоскости, параллельной грани A_{2}A_{3}A_{4}
, поэтому они равноудалены от этой плоскости. Значит,
V_{1}=V_{A_{1}'A_{2}A_{3}A_{4}}=V_{BA_{2}A_{3}A_{4}}.
Аналогично,
V_{2}=V_{BA_{1}A_{3}A_{4}}~\mbox{и}~V_{3}=V_{BA_{1}A_{2}A_{4}}.
Тогда, если V=V_{A_{4}A_{1}A_{2}A_{3}}
, то
V_{1}+V_{2}+V_{3}+V=V_{BA_{1}A_{2}A_{3}}.
Пусть прямая BA_{4}
пересекает плоскость A_{1}A_{2}A_{3}
в точке B'
. Тогда
\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{BA_{4}}+\overrightarrow{A_{4}B'}=\overrightarrow{A_{1}A_{4}'}+\overrightarrow{A_{4}B'}.
Поскольку тетраэдры BA_{1}A_{2}A_{3}
, A_{4}A_{1}A_{2}A_{3}
и A_{4}'A_{1}A_{2}A_{3}
имеют общее основание A_{1}A_{2}A_{3}
, а вершины A_{4}
и A_{4}'
равноудалены от плоскости A_{1}A_{2}A_{3}
, то
V_{BA_{1}A_{2}A_{3}}=V_{A_{4}'A_{1}A_{2}A_{3}}+V_{A_{4}A_{1}A_{2}A_{3}}=V_{4}+V.
Тогда
V_{1}+V_{2}+V_{3}+V=V_{4}+V.
Следовательно,
V_{4}=V_{1}+V_{2}+V_{3}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2000, № 1, задача 2412 (1999, с. 50), с. 60