14682. Дан тетраэдр
ABCD
, в котором
\angle BAC=\angle ACD
и
\angle ABD=\angle BDC
. Докажите, что
AB=CD
.
Решение. Обозначим
AB=b
,
AC=c
,
AD=d
,
CD=b_{1}
,
BD=c_{1}
и
BC=d_{1}
. По теореме косинусов из треугольников
ABC
и
ADC
получаем
2c\cos\angle BAC=\frac{b^{2}+c^{2}-d_{1}^{2}}{b}=\frac{b_{1}^{2}+c^{2}-d^{2}}{b_{1}},

2c_{1}\cos\angle ABD=\frac{b_{1}^{2}+c_{1}^{2}-d_{1}^{2}}{b_{1}}=\frac{b^{2}+c_{1}^{2}-d^{2}}{b},

откуда
(bb_{1}-c^{2})(b-b_{1})=b_{1}d_{1}^{2}-bd^{2}~\mbox{и}~(bb_{1}-c_{1}^{2})(b-b_{1})=b_{1}d^{2}-bd_{1}^{2}.

Сложив два последних равенства, после очевидных преобразований получим
(b-b_{1})(2bb_{1}+d^{2}+d_{1}^{2}-c^{2}-c_{1}^{2})=0.

Докажем, что
2bb_{1}+d^{2}+d_{1}^{2}-c^{2}-c_{1}^{2}\ne0.

Отсюда будет следовать утверждение задачи.
Обозначим
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c},~\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d},~\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{b_{1}},~\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{c_{1}},~\overrightarrow{BC}=d_{1}.

Тогда
\overrightarrow{c_{1}}=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b},~\overrightarrow{b_{1}}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d},

\overrightarrow{d_{1}}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}.

Значит,
2bb_{1}+d^{2}+d_{1}^{2}-c^{2}-c_{1}^{2}=2|\overrightarrow{b}|\cdot|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}|+\overrightarrow{d}^{2}+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})^{2}-\overrightarrow{c}^{2}-(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d})^{2}=

=2|\overrightarrow{b}|\cdot|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}|-2\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}\overrightarrow{d}=2|\overrightarrow{b}|\cdot|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}|-2\overrightarrow{b}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d})=

=2|\overrightarrow{b}|\cdot|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}|-2|\overrightarrow{b}|\cdot|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}|\cos\varphi,

где
\varphi
— угол между векторами
\overrightarrow{b}
и
\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}
, т. е. между векторами
\overrightarrow{AB}
и
\overrightarrow{DC}
. Поскольку
AB
и
DC
— скрещивающиеся прямые, то
\cos\varphi\ne1
, поэтому
2bb_{1}+d^{2}+d_{1}^{2}-c^{2}-c_{1}^{2}\ne0.

Что и требовалось.
Источник: Польские математические олимпиады. — 1999
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 1, задача 4, с. 13