14686. В пирамиде SABCD
с вершиной S
известно, что AB=9
, BC=5
и CD=13
. Найдите ребро AD
, если вписанная в пирамиду касается основания в точке пересечения диагоналей.
Ответ. 15.
Решение. Пусть сфера касается основания и боковых граней SAB
, SBC
, SCD
и SDA
в точках H
, K_{1}
, K_{2}
, K_{3}
и K_{4}
соответственно.
Отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки, равны, поэтому треугольники K_{1}AB
и HAB
равны по трём сторонам. Аналогично, равны треугольники K_{2}BC
и HBC
, K_{3}CD
и HCD
, K_{4}DA
и HDA
, а также треугольники K_{1}SB
и K_{2}SB
, K_{2}SC
и K_{3}SC
, K_{4}SD
и K_{4}SD
, K_{4}SA
и K_{1}SA
. Значит, равны соответствующие углы этих треугольников.
Поскольку равны вертикальные углы при точке H
пересечения диагоналей основания, то
\angle AK_{1}B=\angle AHB=\angle CHD=\angle CK_{3}D
и
\angle BK_{2}C=\angle BHC=\angle AHD=\angle AK_{4}D.
Суммы углов при каждой из точек K_{1}
, K_{2}
, K_{3}
и K_{4}
в боковых гранях SAB
, SBC
, SCD
и SDA
равны по 360^{\circ}
.
Обозначим
\angle CK_{3}D=\angle AK_{1}B=\varphi,~\angle AK_{4}D=\angle BK_{2}C=\psi,
\angle SK_{2}B=\angle SK_{1}B=\alpha,~\angle SK_{4}A=\angle SK_{1}B=\beta,
\angle SK_{3}C=\angle SK_{2}C=\gamma,~\angle SK_{3}D=\angle SK_{4}D=\delta.
Тогда
360^{\circ}=\angle SK_{1}A+\angle SK_{1}B+\angle AK_{1}B=\angle SK_{4}A+\angle SK_{4}D+\angle AK_{4}D~\Rightarrow
\Rightarrow~\beta+\alpha+\varphi=\beta+\delta+\psi~\Rightarrow~\alpha+\varphi=\delta+\psi,
360^{\circ}=\angle SK_{2}B+\angle SK_{2}C+\angle BK_{2}C=\angle SK_{3}C+\angle SK_{3}D+\angle CK_{3}D~\Rightarrow
\Rightarrow~\alpha+\gamma+\psi=\gamma+\delta+\varphi~\Rightarrow~\alpha+\psi=\delta+\varphi.
Из равенств
\alpha+\varphi=\delta+\psi~\mbox{и}~\alpha+\psi=\delta+\varphi
получаем, что \psi=\varphi
. Следовательно,
\angle AK_{1}B=\angle BK_{2}C=\angle CK_{3}D=\angle DK_{4}A.
Эти же углы соответственно равны углам, образованным пересечением диагоналей основания, которые в сумме составляют 360^{\circ}
. Значит, все эти углы прямые, т. е. диагонали четырёхугольника ABCD
перпендикулярны. Тогда суммы квадратов противоположных сторон этого четырёхугольника равны (см. задачу 1344). Следовательно,
AD^{2}+BC^{2}=AB^{2}+CD^{2}~\Rightarrow~AD^{2}=AB^{2}+CD^{2}-BC^{2}=
=81+169-25=225~\Rightarrow~AD=15.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2024, задача 11.5, 11 класс