14689. Ребро правильного тетраэдра равно ребру правильного октаэдра. Найдите отношение объёмов тетраэдра и октаэдра, не вычисляя эти объёмы.
Ответ. 1:4
.
Решение. Пусть v
и V
— объёмы данных тетраэдра и октаэдра. Отсечём от правильного тетраэдра четыре правильных тетраэдра плоскостями, проходящими через середины трёх рёбер, исходящих из одной вершины. Каждый такой тетраэдр подобен исходному с коэффициентом \frac{1}{2}
, поэтому объём каждого из них равен \frac{1}{8}v
. В результате от правильного тетраэдра остался правильный октаэдр с ребром, вдвое меньшим объёма исходного тетраэдра, а объём этого оставшегося октаэдра равен
v-4\cdot\frac{1}{8}v=v-\frac{1}{2}v=\frac{1}{2}v.
В то же время, этот октаэдр подобен исходному октаэдру с коэффициентом \frac{1}{2}
, потому его объём равен \frac{1}{8}V
. Из равенства \frac{1}{2}v=\frac{1}{8}V
следует, что \frac{v}{V}=\frac{1}{4}
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1960, том 33, № 5, задача 390, с. 297