14693. Дан правильный октаэдр с ребром a
. Через точку на его ребре, удалённую от вершины на расстояние ka
(0\leqslant k\leqslant1
), проведена плоскость параллельно одной из граней, содержащей эту вершину. Найдите:
а) периметр сечения октаэдра этой плоскостью;
б) площадь сечения.
Ответ. а) 3a
; б) \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}(1+2k(1-k))
.
Решение. Пусть плоскость проведена через точку P
ребра AE
правильного октаэдра ABCDEF
, параллельно грани BEC
, причём EP=ka
. Из соображений симметрии ясно, что во всех остальных случаев ответ будет такой же.
По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей в сечении получается шестиугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, причём из подобия две параллельные стороны в каждой равны ka
и (1-k)a
.
Тогда периметр шестиугольника сечения равен
3(ka+(1-k)a)=3a.
Пусть вершины Q
, R
, S
, U
и V
шестиугольника сечения лежат на рёбрах AB
, FB
, FC
, CD
и ED
соответственно. Продолжив боковые стороны QP
и UV
трапеции PQUV
до пересечения в точке M
, а боковые стороны QR
и US
трапеции QRSU
до пересечения в точке N
, получим равносторонние треугольники QMU
и QNU
со стороной a
. Их площади равны \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Треугольник PMV
подобен треугольнику QMU
с коэффициентом k
, а треугольник RNS
— треугольнику QNU
с коэффициентом 1-k
, поэтому
S_{PQUV}=S_{\triangle QMU}-k^{2}S_{\triangle QMU}=(1-k^{2})\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.
S_{QRSU}=S_{\triangle QNU}-k^{2}S_{\triangle QNU}=(1-(1-k)^{2})\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.
Следовательно,
S_{\mbox{сеч.}}=S_{PQUV}+S_{QRSU}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}(1-k^{2}+1-(1-k^{2}))=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}(1+2k(1-k)).
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1965, том 38, № 5, задача 582, с. 320