14696. Из точки X
, лежащей внутри правильного тетраэдра ABCD
, опущены перпендикуляры XA_{1}
, XB_{1}
, XC_{1}
и XD_{1}
на его грани. Докажите, что сумма XA_{1}+XB_{1}+XC_{1}+XD_{1}
не зависит от выбора точки X
.
Решение. Пусть площадь каждой грани данного тетраэдра равна S
, объём равен V
. Разобьём данный тетраэдр на четыре тетраэдра, соединив точку X
с его вершинами. Тогда
V=\frac{1}{3}S\cdot XA_{1}+\frac{1}{3}S\cdot XB_{1}+\frac{1}{3}S\cdot XC_{1}+\frac{1}{3}S\cdot XD_{1}=
=\frac{1}{3}S(XA_{1}+XB_{1}+XC_{1}+XD_{1}),
откуда
XA_{1}+XB_{1}+XC_{1}+XD_{1}=\frac{3V}{S}
для всех точек X
внутри тетраэдра. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — , № 3.24, с. 37