14697. Пусть P
— ортогональная проекция точки M
на плоскость, содержащую точки A
, B
и C
. Докажите, что если из отрезков PA
, PB
и PC
можно составить треугольник, то из отрезков MA
, MB
и MC
тоже можно составить треугольник.
Решение. Обозначим PA=a
, PB=b
и PC=c
. Пусть a\leqslant b\leqslant c
. Тогда из условия следует, что c\lt a+b
. По теореме о наклонных и перпендикуляре к плоскости, проведённых из одной точки, MC
— наибольший из отрезков MA
, MB
и MC
.
Пусть расстояние от точки M
до плоскости ABC
равно h
. Тогда
MA=\sqrt{a^{2}+h^{2}}=a\sqrt{1+\left(\frac{h}{a}\right)^{2}},~MB=b\sqrt{1+\left(\frac{h}{b}\right)^{2}},~MC=c\sqrt{1+\left(\frac{h}{c}\right)^{2}},
а так как c\lt a+b
, то
c\sqrt{1+\left(\frac{h}{c}\right)^{2}}\lt(a+b)\sqrt{1+\left(\frac{h}{c}\right)^{2}}=a\sqrt{1+\left(\frac{h}{c}\right)^{2}}+b\sqrt{1+\left(\frac{h}{c}\right)^{2}}\leqslant
\leqslant a\sqrt{1+\left(\frac{h}{a}\right)^{2}}+b\sqrt{1+\left(\frac{h}{b}\right)^{2}},
или
MC\lt MA+MB.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — , № 15.7, с. 240