14699. Докажите, что не более одной вершины тетраэдра обладают тем свойством, что сумма любых двух плоских углов при этой вершине больше 180^{\circ}
.
Решение. Предположим, что указанным свойством обладают вершины A
и B
тетраэдра ABCD
. Тогда
\angle CAB+\angle DAB\gt180^{\circ}~\mbox{и}~\angle CBA+\angle DBA\gt180^{\circ}.
Значит,
\angle CAB+\angle DAB+\angle CBA+\angle DBA\gt360^{\circ}.
С другой стороны,
\angle CAB+\angle CBA=180^{\circ}-\angle ACB\lt180^{\circ}~\mbox{и}~\angle DBA+\angle DAB\lt180^{\circ}.
Значит,
\angle CAB+\angle DAB+\angle CBA+\angle DBA=(\angle CAB+\angle CBA)+(\angle DBA+\angle DAB)\lt
\lt180^{\circ}+180^{\circ}=360^{\circ}.
Противоречие.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — , № 15.18, с. 241