1470. Диагонали вписанного в окружность радиуса R
четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке M
. Известно, что AB=BC=a
, BD=m
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCM
.
Ответ. \frac{aR}{m}
.
Указание. Треугольники BCM
и BDC
подобны.
Решение. Вписанные углы BDC
и BDA
опираются на равные дуги, поэтому они равны. Тогда \angle BCM=\angle BCA=\angle BDC
.
Треугольники BCM
и BDC
подобны по двум углам (угол при вершине B
— общий), причём коэффициент подобия k
равен \frac{BC}{BD}=\frac{a}{m}
. Пусть r
— радиус окружности, описанной около треугольника BCM
. Тогда
r=kR=\frac{a}{m}\cdot R=\frac{aR}{m}.
