14702. Дан тетраэдр ABCD
, в котором AC\perp BC
и AD\perp BD
. Докажите, что косинус угла между прямыми AC
и BD
меньше \frac{AC}{BD}
.
Решение. Достроим прямоугольный треугольник ABC
до прямоугольника ACBE
. Тогда BE\parallel AC
, поэтому угол между прямыми AC
и BD
равен углу DBE
или смежному с ним углу. Диагонали прямоугольника равны, поэтому AB=CE
и \frac{CD}{AB}=\frac{CD}{CE}
.
Рассмотрим сферу с диаметром AB
. Отрезок CE
— тоже её диаметр, а точка D
лежит на ней, поэтому \angle CDE=90^{\circ}
. Тогда, \frac{CD}{CE}=\cos\angle DCE
. Таким образом, требуется доказать, что |\cos DBE|\lt\angle DCE
.
Пусть R
— радиус сферы, а r
— радиус её сечения плоскостью BDE
. Эта плоскость не проходит через центр сферы, поэтому r\lt R
. По теореме синусов
2r\sin\angle DBE=DE=2R\sin\angle DCE,
а так как r\lt R
, то
\sin\angle DBE\gt\sin\angle DCE~\Rightarrow~\sin^{2}\angle DBE\gt\sin^{2}\angle DCE~\Rightarrow
\Rightarrow~1-\sin^{2}\angle DBE\lt1-\sin^{2}\angle DCE~\Rightarrow~\cos^{2}\angle DBE\lt\cos^{2}\angle DCE~\Rightarrow
\Rightarrow~|\cos\angle DBE|\lt|\cos\angle DCE|~\Rightarrow~|\cos\angle DBE|\lt\cos\angle DCE
(так как угол DCE
острый). Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — , № 15.27, с. 242