14704. В пространстве расположены отрезки AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
с общей серединой M
. Оказалось, что сфера \omega
, описанная около тетраэдра MA_{1}B_{1}C_{1}
, касается плоскости ABC
в точке D
. Точка O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
. Докажите, что MO=MD
.
Решение. Обозначим через O_{1}
центр окружности, описанной около треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, через P
центр сферы \omega
(см.рис.). При центральной симметрии относительно точки M
треугольник ABC
переходит в треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
. Следовательно, точки O
и O_{1}
симметричны относительно точки M
, т. е. M
— середина отрезка OO_{1}
. Также мы получаем, что плоскости ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
параллельны. Тогда на прямой, проходящей через точку P
перпендикулярно этим плоскостям, лежат точки D
и O_{1}
, поэтому \angle O_{1}DO=90^{\circ}
. Таким образом, DM
— медиана прямоугольного треугольника O_{1}DO
, значит, MO=MD
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2023-2024, L, второй день 11 класс, региональный этап, задача 11.8