14705. В пространстве даны правильный тетраэдр ABCD
и произвольные точки M
и N
. Докажите неравенство
MA\cdot NA+MB\cdot NB+MC\cdot NC\geqslant MD\cdot ND.
Решение. Лемма 1. Для любых различных точек A
, B
, C
и D
выполняется неравенство
AB\cdot CD+BC\cdot AD\geqslant AC\cdot BD
(т. е. неравенство Птолемея для четырёх точек пространства).
Доказательство. На лучах DA
, DB
и DC
отметим точки соответственно A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, для которых
DA_{1}=\frac{1}{DA},~DA_{1}=\frac{1}{DA},~DA_{1}=\frac{1}{DA}.
поскольку
\frac{DA_{1}}{DB}=\frac{\frac{1}{DA}}{DB}=\frac{1}{DA\cdot DB}~\mbox{и}~\frac{DB_{1}}{DA}=\frac{\frac{1}{DB}}{DA}=\frac{1}{DA\cdot DB},
треугольники DAB
и DB_{1}A_{1}
подобны, поэтому
A_{1}B_{1}=\frac{AB}{DA\cdot DB}.
Аналогично,
B_{1}C_{1}=\frac{BC}{DB\cdot DC}~\mbox{и}~C_{1}A_{1}=\frac{CA}{DC\cdot DA}.
Подставляя эти равенства в неравенство треугольника, получим
A_{1}B_{1}+B_{1}C_{1}\geqslant A_{1}C_{1}~\Rightarrow~AB\cdot CD+BC\cdot AD\geqslant AC\cdot BD.
Лемма доказана.
Лемма 1. На плоскости даны точки M
, N
и треугольник ABC
. Тогда
\frac{AM\cdot AN}{AB\cdot AC}+\frac{BM\cdot BN}{BA\cdot BC}+\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB}\geqslant1.\eqno(1)
Доказательство. В плоскости треугольника ABC
рассмотрим точку K
, для которой
\angle ABM=\angle KBC~\mbox{и}~\angle MAB=\angle CKB.
Заметим, что
\frac{CK}{BK}=\frac{AM}{AB},~\frac{AK}{BK}=\frac{CM}{BC},~\frac{BC}{BK}=\frac{BM}{AB}.\eqno(2)
По лемме 1 для точек A
, N
, C
, K
верно неравенство
AN\cdot CK+CN\cdot AK\geqslant AC\cdot NK,
а так как по неравенству треугольника NK\geqslant BK-BN
, то
AN\cdot CK+CN\cdot AK\geqslant AC(BK-BN).
Разделив обе части этого неравенства на произведение AC\cdot BK
получаем, что
\frac{AN\cdot CK}{AC\cdot BK}+\frac{CN\cdot AK}{AC\cdot BK}+\frac{BN}{BK}\geqslant1.\eqno(3)
Из (2) получаем, что
\frac{AN\cdot CK}{AC\cdot BK}=\frac{AN\cdot AC}{AM\cdot AB},~\frac{CN\cdot AK}{AC\cdot BK}=\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB},~\frac{BN}{BK}=\frac{BM\cdot BN}{BA\cdot BC}.
Тогда
\frac{AM\cdot AN}{AB\cdot AC}+\frac{BM\cdot BN}{BA\cdot BC}+\frac{CM\cdot CN}{CA\cdot CB}\geqslant1.\eqno(1)
Лемма доказана.
Следствие. Неравенство (1) остаётся верным, если точки M
или N
(одна или обе) не лежат в плоскости треугольника ABC
.
Неравенство получается из леммы 2, если рассмотреть параллельные проекции этих точек на плоскость треугольника ABC
и воспользоваться свойствами параллельного проецирования.
Возвратимся к решению нашей задачи. На луче DA
выберем точку A_{1}
для которой DA_{1}=\frac{1}{DA}
. Аналогичным образом на лучах DB
, DC
, DM
и DN
выбираем точки B_{1}
, C_{1}
, M_{1}
и N_{1}
соответственно.
Применив следствие из леммы 2 к равностороннему треугольнику A_{1}B_{1}C_{1}
, получим неравенство
A_{1}M_{1}\cdot A_{1}N_{1}+B_{1}M_{1}\cdot B_{1}N_{1}+C_{1}M_{1}\cdot C_{1}N_{1}\geqslant A_{1}B_{1}^{2}.
Используя неравенства и равенства из леммы 1, получим
\frac{AM}{DA\cdot DM}\cdot\frac{AN}{DA\cdot DN}+\frac{BM}{DB\cdot DM}\cdot\frac{BN}{DB\cdot DN}+\frac{CM}{DC\cdot DM}\cdot\frac{CN}{DC\cdot DN}\geqslant\left(\frac{AB}{DA\cdot DB}\right)^{2},
откуда
MA\cdot NA+MB\cdot NB+MC\cdot NC\geqslant MD\cdot ND.
Что и требовалось доказать.
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2017, XIII, второй день, задача 6