14710. В правильном тетраэдре ABCD
точки M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Плоскость \alpha
перпендикулярна прямой MN
и пересекает ребро BC
в точке K
.
а) Докажите, что прямая MN
перпендикулярна рёбрам AB
и CD
.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD
плоскостью \alpha
, если известно, что BK=1
, KC=3
.
Ответ. 3.
Решение. а) Из треугольника ANB
получаем, что AN=BN=\frac{\sqrt{3}}{2}CD
. Значит, он равнобедренный с основанием AB
, а его медиана NM
перпендикулярна ребру AB
. Аналогично, прямая MN
перпендикулярна ребру CD
.
б) Плоскость \alpha
, перпендикулярная прямой MN
, параллельна прямым AB
и CD
, поскольку эти прямые перпендикулярны прямой MN
.
Обозначим точки пересечения рёбер AC
, AD
и BD
с плоскостью \alpha
через L
, P
и Q
соответственно. Тогда четырёхугольник KLPQ
— прямоугольник, поскольку его стороны KL
и PQ
параллельны ребру AB
, стороны KQ
и LP
параллельны ребру CD
, а прямые AB
и CD
перпендикулярны.
Треугольники KCL
и KBQ
равносторонние. Следовательно,
KL=KC=3,~QK=BK=1,
а площадь прямоугольника KLPQ
равна KL\cdot KQ=3
.
Источник: ЕГЭ. — 2024, досрочный экзамен, профильный уровень, задача 14