14719. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит прямоугольник ABCD
со сторонами AB=5
и BC=12
. Боковые рёбра SA
, SB
и CD
равны 2\sqrt{14}
, 9 и 10\sqrt{2}
соответственно.
а) Докажите, что SA
— высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC
и BD
.
Ответ. \arccos\frac{119}{195}
.
Решение. а) Из треугольника SAB
получаем
SA^{2}+AB^{2}=56+15=81=9=SB^{2},
поэтому треугольник SAB
прямоугольный с прямым углом при вершине A
. Аналогично,
SA^{2}+AD^{2}=56+144=200=SD^{2},
поэтому треугольник SAD
прямоугольный с прямым углом при вершине A
.
Прямая SA
перпендикулярна пересекающимся прямым AB
и AD
плоскости ABD
, значит, эта прямая перпендикулярна плоскости ABCD
. Следовательно, SA
— высота пирамиды.
б) На продолжении отрезка AB
за точку D
отложим отрезок BE=CD=5
. Тогда четырёхугольник BDCE
— параллелограмм, так как его противоположные стороны BE
и CD
равны и параллельны. Значит, CE\parallel SC
и CE=BD
. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми CS
и BD
равен углу между пересекающимися прямыми SC
и CS
, т. е. углу SCE
.
По теореме Пифагора находим, что
CE=BD=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{144+25}=13,~SC=\sqrt{SA^{2}+AC^{2}}=\sqrt{56+169}=15,
SE^{2}=SA^{2}+AE^{2}=156.
По теореме косинусов из треугольника SCE
находим, что
\cos\angle SCE=\frac{CE^{2}+SC^{2}-SE^{2}}{2CE\cdot SC}=\frac{169+225-156}{2\cdot13\cdot15}=\frac{119}{195}.
Следовательно, угол между прямыми SC
и BD
равен \arccos\frac{119}{195}
.
Источник: ЕГЭ. — 2024, досрочный экзамен, профильный уровень, задача 14