14720. Дана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с основанием ABC
, все рёбра которой равны между собой. На рёбрах A_{1}C_{1}
, B_{1}B
и BC
отмечены точки P
, Q
и R
соответственно, причём A_{1}P:A_{1}C_{1}=2:5
, B_{1}Q:B_{1}B=1:4
, и BR:BC=3:5
. Найдите тангенс угла между плоскостями PQR
и ABC
.
Ответ. \frac{2}{5}=2{,}5
.
Решение. Пусть рёбра призмы равны a
, M
— середина AC
, K
— точка пересечения прямых QR
и C_{1}C
, L
— точка пересечения прямых PK
и AC
.
Треугольники QBR
и KCR
подобны с коэффициентом k=\frac{BR}{CR}=\frac{3}{2}
, поэтому
KC=\frac{1}{k}QB=\frac{3}{4}a\cdot\frac{2}{3}=\frac{a}{2}.
Треугольники KCL
и KC_{1}P
подобны с коэффициентом
n=\frac{KC}{KC_{1}}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}a+a}=\frac{1}{3},
отсюда
CL=n\cdot C_{1}P=\frac{1}{3}\cdot\frac{3a}{5}=\frac{a}{5}.
Заметим, что
\frac{CL}{CM}=\frac{1}{5}\cdot2=\frac{2}{5}=\frac{CR}{CB},
поэтому LR\parallel MB
и LR\perp AC
. Значит, искомый угол равен углу PLA
. Следовательно,
\tg\angle PLA=\frac{A_{1}A}{C_{1}P-CL}=\frac{1}{\frac{3}{5}-\frac{1}{5}}=\frac{5}{2}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024, первый этап, второй день, 11 класс, задача 5а