14726. На рёбрах SA
и SB
треугольной пирамиды SABC
отмечены точки Q
и P
соответственно, причём SQ:QA=3:5
и SP:PB=1:5
; R
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Плоскость PQR
пересекает ребро BC
в точке D
. Найдите длину отрезка CD
, если известно, что BC=7
.
Ответ. 4.
Решение. Пусть M
— точка пересечения PQ
и AB
, K
— середина BC
. Тогда D
— точка пересечения MR
и BC
. По теореме Менелая для треугольников BSA
и BKA
получаем
\frac{BP}{PS}\cdot\frac{SQ}{QA}\cdot\frac{AM}{MB}=1~\Leftrightarrow~5\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{AM}{MB}=1~\Leftrightarrow~\frac{AM}{MB}=\frac{1}{3},
\frac{BD}{DK}\cdot\frac{KR}{RA}\cdot\frac{AM}{MB}=1~\Leftrightarrow~\frac{BD}{DK}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=1~\Leftrightarrow~DK=\frac{1}{6}BD.
Следовательно,
CD=CK+DK=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{7}BK=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{2}BC=\frac{4}{7}BC=4.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023-2024, первый этап, 11 класс, задача 5, вариант а