14728. В сосуд, имеющий форму конуса с вершиной внизу, налили воды так, что расстояние от вершины до уровня воды равно 2 см. Сосуд закупорили и перевернули. Теперь расстояние от дна до уровня воды равно 1 см. Найдите высоту конуса. Уровень воды параллелен основанию конуса.
Ответ. \frac{3+\sqrt{93}}{6}\approx2{,}3
.
Решение. Пусть высота конуса PO=H
, круг с центром O_{1}
— уровень воды в первом случае, а круг с центром O_{2}
— во втором случае (см. рис.). Пусть также V
— объём конуса, V_{0}
— объём части конуса, заполненной водой.
Из подобия конуса и его «верхушки» следует, что
\frac{V_{0}}{V}=\left(\frac{PO_{1}}{PO}\right)^{3}~\mbox{и}~\frac{V-V_{0}}{V}=\left(\frac{PO_{2}}{PO}\right)^{3}.
Сложив эти равенства почленно и учитывая, что PO_{1}=2
и OO_{2}=1
, получим:
1=\frac{8}{H^{3}}=\frac{(H-1)^{3}}{H^{3}}.
После упрощения получим квадратное уравнение
SH^{2}-3H-7=0.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень этого уравнения H=\frac{3+\sqrt{93}}{6}
.
Примечание. Вместо подобия можно сослаться на гомотетию с центром P
. Также отметим, что конус не обязательно прямой и круговой, в частности сосуд может иметь форму произвольной пирамиды.
Источник: Московская математическая регата. — 2023, 11 класс, задача 2.2