14735. Через точку, лежащую на оси цилиндра радиуса \sqrt{3}
и отстоящую от ближайшего к ней основания цилиндра на расстояние 1, проведена плоскость. Найдите объём меньшей части цилиндра, отсекаемой этой плоскостью, если угол между осью цилиндра и плоскостью равен 60^{\circ}
.
Ответ. 3\pi
.
Решение. Поскольку угол между осью цилиндра и секущей плоскостью равен 60^{\circ}
, то плоскость имеет с ближайшим основанием ровно одну общую точку. Значит, искомый объём V
равен объёму меньшей части цилиндра, отсекаемой от данного цилиндра плоскостью, параллельной его основаниям и проходящей через данную точку, т. е. объёму цилиндра радиуса \sqrt{3}
и высотой 1. Следовательно,
V=\pi(\sqrt{3})^{2}\cdot1=3\pi.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2014-2015, март 2015, закл. тур, 10-11 классы, задача 2, вариант 3-1