14737. На плоскости основания конуса с высотой, равной радиусу основания, дана точка (вне конуса), удалённая от окружности основания на расстояние, равное двум радиусам основания. Найдите угол между касательными плоскостями к боковой поверхности конуса, проходящими через данную точку.
Ответ. 2\arctg\frac{\sqrt{5}}{2}=\arccos\left(-\frac{1}{9}\right)
.
Решение. Пусть S
— вершина конуса, O
— центр основания, A
— данная точка, B
и C
— точки касания плоскостей с окружностью основания конуса, K
— точка пересечения хорды BC
и отрезка AO
. Обозначим \angle BAO=\varphi
, \angle SAB=\psi
, \angle SAO=\alpha
, а R
— радиус основания конуса.
Из прямоугольных треугольников ABO
, AKB
и AOS
находим
\sin\varphi=\frac{OB}{OA}=\frac{R}{3R}=\frac{1}{3}~\Rightarrow~\cos\varphi=\frac{2\sqrt{2}}{3},
AB=OA\cos\varphi=3R\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=2R\sqrt{2},BK=AB\sin\varphi=2R\sqrt{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2R\sqrt{2}}{3},
AK=AB\cos\varphi=2R\sqrt{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{8}{3}R,
\tg\alpha=\frac{SO}{OA}=\frac{R}{3R}=\frac{1}{3}~\Rightarrow~\cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}},~\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}.
Опустим перпендикуляр KD
на гипотенузу AS
на прямую AS
. Прямая AS
перпендикулярна пересекающимся прямым KD
и BC
(по теореме о трёх перпендикулярах) плоскости BCD
, поэтому прямая AS
перпендикулярна этой плоскости. Значит, BDC
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ASB
и ASC
, т. е. касательными плоскостями к боковой поверхности конуса.
Обозначим \angle BDC=\delta
. Из прямоугольных треугольников ADK
и BKD
находим,
KD=AK\sin\alpha=\frac{8}{3}R\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{8R}{3\sqrt{10}},
\tg\frac{\delta}{2}=\angle BDK=\frac{BK}{KD}=\frac{\frac{2R\sqrt{2}}{3}}{\frac{8R}{3\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Следовательно,
\delta=2\arctg\frac{\sqrt{5}}{2}=\arccos\left(-\frac{1}{9}\right).
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2015-2016, март 2016, закл. тур, 10-11 классы, задача 4, вариант 5-1