14739. Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен \arctg3
. В каком отношении делит боковую сторону SB
сфера, центр которой лежит в плоскости основания, если известно, что вершины основания принадлежат сфере?
Ответ. 5:8
, считая от S
.
Решение. Окружность сечения сферы плоскостью основания совпадает с описанной окружностью равностороннего треугольника ABC
, а её центр O
— с центром равностороннего треугольника ABC
. Пусть M
— середина ребра AC
.
Обозначим через a
сторону основания, а через \beta
и \alpha
соответственно — двугранный угол при основании пирамиды и угол бокового ребра с плоскостью основания. Тогда \angle SBM=\alpha
и условию \angle SMB=\beta=\arctg3
.
Из прямоугольных треугольников SOM
и SOB
получаем
SO=OM\tg\beta=3OM=3\cdot\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a\sqrt{3}}{2},
\tg\alpha=\frac{SO}{OB}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{3}{2}.
Тогда
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{13}},
SB=\frac{OB}{\cos\alpha}=\frac{a\sqrt{3}}{3\cos\alpha}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{3\cdot2}{\sqrt{13}}}=\frac{a\sqrt{39}}{6},
По условию центр сферы лежит плоскости основания пирамиды, поэтому он совпадает с точкой O
. Пусть сфера пересекает боковое ребро SB
в точке P
, отличной от B
. Тогда OP
— радиус сферы, поэтому BOP
— равносторонний треугольник с боковыми сторонами сторонами OP=OB=\frac{a\sqrt{3}}{3}
. Тогда
BP=2OB\cos\alpha=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\cdot\cos\alpha=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{4a\sqrt{39}}{39}.
Тогда
\frac{BP}{SB}=\frac{\frac{4a\sqrt{39}}{39}}{\frac{a\sqrt{39}}{6}}=\frac{8}{13}.
Следовательно,
\frac{SP}{BP}=\frac{13-8}{8}=\frac{5}{8}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2015-2016, март 2016, закл. тур, 10-11 классы, задача 4, вариант 7-1