1474. Дана окружность и точка A
вне её. Из точки A
проведены к окружности две касательные AB
и AC
(B
и C
— точки касания). Пусть M
— произвольная точка прямой, проходящей через середины AB
и AC
. Докажите, что касательная к окружности из точки M
равна MA
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, R
— её радиус, P
— середина AB
, MK
— касательная к окружности (K
— точка касания), L
— точка пересечения прямой PM
с отрезком AO
.
Из теоремы о средней линии треугольника следует, что PM\parallel BC
, а так как AO\perp BC
, то PM\perp AO
.
По теореме Пифагора
MO^{2}-OL^{2}=ML^{2}=MA^{2}-AL^{2},~PO^{2}-OL^{2}=PL^{2}=PA^{2}-AL^{2},
поэтому
MO^{2}-MA^{2}=OL^{2}-AL^{2}=PO^{2}-PA^{2},
значит,
MA^{2}=MO^{2}-PO^{2}+PA^{2}=MO^{2}-(OB^{2}+BP^{2})+PA^{2}=
=MO^{2}-OB^{2}=MO^{2}-R^{2}
(так как PB=PA
). Из прямоугольного треугольника MKO
находим, что
MK^{2}=MO^{2}-OK^{2}=MO^{2}-R^{2}.
Следовательно, MA=MK
.