14745. Две смежные боковые грани пирамиды, в основании которой лежит квадрат, перпендикулярны плоскости основания. Двугранный угол между двумя другими боковыми гранями равен \frac{2\pi}{3}
. Найдите отношение высоты пирамиды к стороне основания.
Ответ. 1:1
.
Решение. Пусть квадрат ABCD
— основание пирамиды SABCD
, а боковые грани ASB
и ASD
перпендикулярны плоскости основания. Тогда плоскости этих граней пересекаются по прямой, перпендикулярной плоскости основания (см. задачу 0104), поэтому ребро SA
— высота пирамиды.
Опустим перпендикуляр OM
из центра O
основания на ребро SC
. Прямая SC
перпендикулярна пересекающимся прямым OM
и BD
(по теореме о трёх перпендикулярах) плоскости BMD
. Значит, плоскость BMD
перпендикулярна прямой SC
, и поэтому BMD
— линейный угол двугранного угла, о котором говорится в условии. Следовательно, \angle BMD=120^{\circ}
.
Обозначим сторону квадрата AB=a
и SA=h
— высоту пирамиды. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что треугольники SBC
и SDC
прямоугольные с прямыми углами при вершинах B
и D
соответственно, BM
и DM
— их высоты, проведённые из вершин их прямых углов. Значит,
DM=BM=\frac{BC\cdot SB}{SA}=\frac{a\sqrt{a^{2}+h^{2}}}{\sqrt{2a^{2}+h^{2}}}.
Из равнобедренного треугольника DMB
по теореме косинусов получаем
BD^{2}=BM^{2}+DM^{2}-2BM\cdot DM\cos120^{\circ},
или
2a^{2}=2\cdot\frac{a^{2}(a^{2}+h^{2})}{2a^{2}+h^{2}}-2\cdot\frac{a^{2}(a^{2}+h^{2})}{2a^{2}+h^{2}}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)~\Leftrightarrow~2a^{2}=2\cdot\frac{a^{2}(a^{2}+h^{2})}{2a^{2}+h^{2}}+\frac{a^{2}(a^{2}+h^{2})}{2a^{2}+h^{2}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2(2a^{2}+h^{2})=2(a^{2}+h^{2})+(a^{2}+h^{2})~\Leftrightarrow~a^{2}=h^{2}.
Следовательно, \frac{h}{a}=1
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2018-2019, март 2019, закл. тур, 10-11 классы, задача 4, вариант 1-1