14749. Основание треугольной пирамиды SABC
— равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой AC
. Боковые грани SAB
и SAC
перпендикулярны плоскости ABC
. Сфера радиуса, равного AC
, с центром в точке S
делит пирамиду на две части. Найдите объём большей из эти частей, если SA=AB=2
.
Ответ. \frac{\pi(15-8\sqrt{2})}{9}
.
Решение. Заметим, что ребро SA
перпендикулярно плоскости ABC
(см. задачу 9104). Обозначим SA=AB=BC=a
.
Заметим также, что равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
— \frac{1}{8}
часть квадрата со стороной 2a
, центром A
, вершиной C
и серединой B
одной из сторон, а тогда пирамида SABCD
— \frac{1}{48}
часть куба с ребром 2a
, центром S
, вершиной C
и гранью, часть которой — указанный квадрат, так как все 48 пирамид, составляющих куб располагаются центрально-симметрично относительно общей вершины S
(см. рис.).
Поскольку SB=a\sqrt{2}=AC
— радиус сферы, то сечение сферы плоскостью грани куба — окружность, вписанная в эту грань. Пусть V
— это объём пересечения шара радиуса R=a\sqrt{2}
и указанного куба. Тогда объём v
заключённой внутри шара части пирамиды равен \frac{1}{48}
части этого объёма этого пересечения, т. е. \frac{1}{48}
объёма шара без шести шаровых сегментов с высотой h=a\sqrt{2}-a=a(\sqrt{2}-1)
.
Таким образом
V=\frac{4}{3}\pi R^{3}-6\cdot\pi h^{2}\left(R-\frac{h}{3}\right)=\frac{4}{3}\pi2\sqrt{2}a^{3}-6\cdot\pi(\sqrt{2}-1)^{2}\left(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}-1}{3}\right)a^{3}=
=\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi a^{3}-2(3-2\sqrt{2})(2\sqrt{2}+1)\pi a^{3}=\frac{2}{3}\pi a^{3}(15-8\sqrt{2}).
Значит,
v=\frac{1}{48}V=\frac{1}{48}\cdot\frac{2}{3}\pi a^{3}(15-8\sqrt{2})=\frac{\pi a^{3}(15-8\sqrt{2})}{72}=\frac{\pi(15-8\sqrt{2})}{9}.
Осталось заметить, что v
больше половины объёма пирамиды SABCD
. Действительно, объём пирамиды равен \frac{1}{48}
части куба (т. е. \frac{1}{48}\cdot4^{3}=\frac{4}{3}
), а
v=\frac{\pi(15-8\sqrt{2})}{9}\gt\frac{2}{3}~\Leftrightarrow~15-8\sqrt{2}\gt15-12=3\gt\frac{6}{\pi}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2021-2022, март 2022, закл. тур, 11 классы, задача 5, вариант 11-1