14750. Точка O
— начало трёх отрезков OA
, OB
и OC
, лежащих в плоскости P
и имеющих длины 1, 2 и 3 соответственно. На прямой l
, проходящей через точку O
и перпендикулярной плоскости P
, расположена точка D
, для которой что сумма углов, образуемых прямыми DA
, DB
и DC
с прямой l
, равна 180^{\circ}
. Найдите длину отрезка OD
.
Ответ. 1.
Решение. Обозначим OD=h
, \angle ADO=\alpha
, \angle BDO=\beta
, \angle CDO=\gamma
. По условию
\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}.
Тогда
\syst{\frac{h}{a}=\ctg\alpha\\\frac{h}{b}=\ctg\beta\\\frac{h}{c}=\ctg\gamma=\ctg(180^{\circ}-\alpha-\beta)=\frac{1-\ctg\alpha\ctg\beta}{\ctg\alpha+\ctg\beta}.\\}
Следовательно,
\frac{h}{c}=\frac{1-\frac{h^{2}}{ab}}{h\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}=\frac{ab-h^{2}}{h(a+b)}~\Rightarrow~h^{2}(a+b+c)=abc~\Rightarrow~h^{2}=\frac{abc}{a+b+c}.
Следовательно,
h=\sqrt{\frac{abc}{a+b+c}}=\sqrt{\frac{1\cdot2\cdot3}{1+2+3}}=1.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, февраль 2024, закл. тур, 11 класс, задача 6, вариант 1