14752. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
, DH
— высота пирамиды ABCD
. Длины её боковых рёбер DA
, DB
и DC
равны 1, 2, и 3 соответственно. Рёбра DB
и DC
перпендикулярны. Найдите объём пирамиды.
Ответ. 1.
Решение. Докажем, что рёбра DA
, DB
и DC
пирамиды ABCD
попарно перпендикулярны.
Ребро DB
перпендикулярно ребру AC
(по теореме о трёх перпендикулярах), ребро DB
перпендикулярно ребру DC
(по условию). Тогда ребро DB
перпендикулярно плоскости грани ADC
(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а значит, и ребру AD
. Аналогично, ребро DC
перпендикулярно плоскости грани ADB
, а значит, и ребру AD
. Таким образом, рёбра DA
, DB
и DC
попарно перпендикулярны.
Из доказанного получаем, что CD
— высота треугольной пирамиды, основание которой — прямоугольный треугольник ABD
. Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}\cdot CD=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}DA\cdot DB\cdot CD=\frac{1}{6}\cdot1\cdot2\cdot3=1.
(Можно и так: объём пирамиды равен одной шестой части объёма прямоугольного параллелепипеда, построенного на рёбрах DA
, DB
и DC
, равных 1, 2 и 3.)
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, февраль 2024, закл. тур (регионы), 11 класс, задача 6, вариант 1