14754. Каждый из трёх шаров радиуса 1 касаются всех боковых рёбер правильной треугольной призмы. Первый и третий касаются второго, а также всех рёбер соответственно верхнего и нижнего её оснований. Найдите объём призмы.
Ответ. \frac{3(3+4\sqrt{3})}{4}
.
Решение. Рассмотрим шар с центром O
, касающийся всех боковых рёбер AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, а также рёбер её основания ABC
. Пусть M
— точка касания этого шара с ребром BC
, а G
— центр основания ABC
. Поскольку шар касается ребра AA_{1}
, то GA
— радиус шара, поэтому GA=1
, а так как шар касается ребра BC
в точке M
, то GM=\frac{1}{2}GA=\frac{1}{2}
и OM=1
. Значит, сторона равностороннего треугольника ABC
равна \sqrt{3}
, а расстояние от точки O
до плоскости ABC
равно
OG=\sqrt{OM^{2}-GM^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Аналогично для шара, касающегося рёбер основания A_{1}B_{1}C_{1}
.
Пусть боковое ребро призмы равно h
, а объём равен V
. Тогда
h=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)+2+\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=4+\sqrt{3}.
Следовательно,
V=S_{\triangle ABC}\cdot h=\frac{(\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot(4+\sqrt{3})=\frac{3(3+4\sqrt{3})}{4}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, ноябрь 2023, предв. тур (выезд), 11 класс, задача 6, вариант 1