14756. В треугольной пирамиде ABCD
вершина D
проецируется на основание в точку пересечения его высот (ортоцентр) и лежит на сфере, построенной на стороне BC
как на диаметре. Длины рёбер BC
, CA
и AB
равны 2, \sqrt{2}
и \sqrt{3}
соответственно. Найдите боковые рёбра пирамиды.
Ответ. AD=\frac{\sqrt{2}}{2}
, AD=\frac{\sqrt{10}}{2}
, AD=\frac{\sqrt{6}}{2}
.
Решение. Поскольку точка D
лежит на сфере с диаметром BC
, угол BCD
прямой. По теореме о трёх перпендикулярах DC\perp AB
, поэтому прямая CD
перпендикулярна плоскости ABC
, а значит, и прямой DA
. Значит, треугольник ADC
прямоугольный с прямым углом при вершине D
. Аналогично, треугольник ADC
прямоугольный с прямым углом при вершине D
. Таким образом, все три боковые грани пирамиды — прямоугольные треугольники с прямыми углам при общей вершине D
.
Обозначим DA=x
, DB=y
м DC=z
. Применив теорему Пифагора к каждой из боковых граней, получим систему
\syst{x^{2}+y^{2}=3\\x^{2}+z^{2}=2\\y^{2}+z^{2}=4\\}~\Leftrightarrow~\syst{2x^{2}=1\\2y^{2}=5\\2z^{2}=3\\}~\Leftrightarrow~\syst{x^{2}=\frac{1}{2}\\y^{2}=\frac{5}{2}\\z^{2}=\frac{3}{2}.\\}
Следовательно,
DA=x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},~DB=y=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2},~DC=z=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2023-2024, ноябрь 2023, предв. тур (выезд), 11 класс, задача 5, вариант 1