14764. Точка M
лежит на ребре AB
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. В квадрат ABCD
вписан прямоугольник MNLK
, причём точка M
— одна из его вершин, а три другие расположены на различных сторонах квадрата основания. Прямоугольник M_{1}N_{1}L_{1}K_{1}
— ортогональной проекцией прямоугольника MNLK
на плоскость верхнего основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Диагонали четырёхугольника MK_{1}L_{1}N
перпендикулярны. Найдите отношение AM:MB
.
Ответ. 1:3
.
Решение. Стороны прямоугольника MNLK
параллельны диагоналями основания ABCD
(см. задачу 1995) . Стороны K_{1}L_{1}
и MN
четырёхугольника MK_{1}L_{1}N
равны и параллельны, поэтому MK_{1}L_{1}N
— параллелограмм.
Угол K_{1}MK
прямой (по теореме о трёх перпендикулярах), поэтому MK_{1}L_{1}N
— прямоугольник. Его диагонали по условию перпендикулярны, поэтому MK_{1}L_{1}N
— квадрат.
Пусть ребро куба равно a
, а \frac{AM}{AB}=\lambda
. Тогда
MK=\lambda BD,~K_{1}M^{2}=MK^{2}+KK_{1}^{2}=2\lambda^{2}a^{2}+a^{2}=a^{2}(2\lambda^{2}+1),
KM=MN=(1-\lambda)BD=(1-\lambda)a\sqrt{2}~\Rightarrow~2(1-\lambda)^{2}a^{2}=a^{2}(2\lambda^{2}+1)~\Rightarrow
\Rightarrow~2(1-\lambda)^{2}=2\lambda^{2}+1~\Rightarrow~\lambda=\frac{1}{4}.
Значит,
AM=\lambda a=\frac{1}{4}a,~MB=(1-\lambda)a=\frac{3}{4}a.
Следовательно,
\frac{AM}{MB}=\frac{\frac{1}{4}a}{\frac{3}{4}a}=\frac{1}{3}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021-2022, закл. тур, компл. 2, 11 класс, задача 6, вариант 1