14766. По диагоналям AC
и B_{1}D_{1}
оснований куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
ползут два муравья Гоша и Лёша. Движение они начали одновременно из точек A
и B_{1}
соответственно с постоянной скоростью, причём скорость Лёши была в два раза больше скорости передвижения Гоши и закончили, когда Лёша оказался в точке D_{1}
. Какое наименьшее расстояние разделяло Гошу и Лёшу во время движения?
Ответ. a\sqrt{\frac{11}{10}}
.
Решение. Пусть M
и N
— точки, в которых Гоша и Лёша находились в момент времени t
; O
и O_{1}
— центры граней ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно; K
— ортогональная проекция точки N
на плоскость грани ABCD
; v
и 2v
— скорости Гоши и Лёши соответственно. Тогда точка K
лежит на диагонали BD
грани ABCD
, поэтому
OK=NO_{1}=O_{1}B_{1}-B_{1}N=\frac{a}{\sqrt{2}}-2vt,~OM=OA-AM=\frac{a}{\sqrt{2}}-vt.
Тогда
MN^{2}=NK^{2}+OK^{2}+OM^{2}=a^{2}+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}-2vt\right)^{2}+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}-vt\right)^{2}=
=5v^{2}t^{2}-3\sqrt{2}avt+2a^{2}.
Таким образом, задача сводится к нахождению наименьшего значения квадратного трёхчлена
f(t)=5v^{2}t^{2}-3\sqrt{2}avt+2a^{2}
на отрезке 0\leqslant t\leqslant\frac{a\sqrt{2}}{2v}
.
Наименьшее значение f(t)
на луче t\geqslant0
равно значению квадратного трёхчлена f(t)
в точке t=\frac{3\sqrt{2}av}{10v^{2}}=\frac{3}{5}\cdot\frac{a}{v\sqrt{2}}
, т. е.
f\left(\frac{3}{5}\cdot\frac{a}{v\sqrt{2}}\right)=5v^{2}\cdot\left(\frac{3}{5}\cdot\frac{a}{v\sqrt{2}}\right)^{2}-3\sqrt{2}av\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{a}{v\sqrt{2}}+2a^{2}=
=\frac{9}{10}a^{2}-\frac{9}{5}a^{2}+2a^{2}=\frac{11}{10}a^{2}.
Заметим, что
\frac{3}{5}\cdot\frac{a}{v\sqrt{2}}\leqslant\frac{a\sqrt{2}}{2v}~\Leftrightarrow~\frac{3\sqrt{2}}{10}\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}~\Leftrightarrow~0{,}3\leqslant0{,}5.
Следовательно, искомое наименьшее расстояние между муравьями равно a\sqrt{\frac{11}{10}}
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021-2022, закл. тур, компл. 1, 11 класс, задача 6, вариант 1