14768. Основание ABC
пирамиды ABCD
лежит в плоскости \alpha
. Точка M
находится на продолжении отрезка AB
за точку B
, причём MB:AB=2:1
. Точка N
— середина ребра DC
. Найдите наименьший возможный путь между точками N
и M
, проходящий по боковой поверхности пирамиды и плоскости S
, если все рёбра пирамиды, включая рёбра основания, равны \sqrt{31}
Ответ. \frac{31}{2}
.
Решение. Заметим, что искомый путь пересекает ребро BC
. Пусть X
— точка пересечения. Повернём равносторонний треугольник BDC
вокруг прямой BC
так, чтобы точка D
совпала с A
. При этом середина N
ребра CD
совпадёт с серединой F
отрезка AC
.
Пусть H
— точка пересечения отрезков MF
и BC
. Тогда по неравенству треугольника путь из N
в M
, состоящий из отрезков из отрезков NX
и XM
, не меньше отрезка FM
, т. е.
FX+XM\geqslant FH+HM=FM.
Следовательно, наименьший путь равен длине отрезка FM
.
Пусть все рёбра пирамиды ABCD
равны a=\sqrt{31}
. По теореме косинусов из треугольника AFM
находим, что
FM=\sqrt{AF^{2}+AM^{2}-2AF\cdot AM\cos60^{\circ}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+9a^{2}-2\cdot\frac{a}{2}\cdot3a\cdot\frac{1}{2}}=
=\frac{a}{2}\sqrt{1+36-6}=\frac{a}{2}\sqrt{31}=\frac{\sqrt{31}}{2}\cdot\sqrt{31}=\frac{31}{2}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021-2022, отборочный тур, 11 класс, задача 6, вариант 1