14770. В правильной четырёхугольной пирамиде противоположные боковые грани перпендикулярны. Высота пирамиды равна h
. Найдите радиус шара, касающегося рёбер основания и боковых рёбер пирамиды или их продолжений.
Ответ. 2h\sqrt{2\pm\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть S
— вершина данной правильной четырёхугольной пирамиды с основанием ABCD
, O
— центр основания, M
и N
— середины рёбер соответственно AB
и CD
квадрата ABCD
(точки касания шара с этими рёбрами), R
— искомый радиус шара с центром Q
на луче SO
, E
— точка касания шара с ребром SB
, OK
— перпендикуляр к ребру SB
.
Тогда по условию \angle MSN=90^{\circ}
как линейный угол двугранного угла, образованного противоположными боковыми гранями пирамиды,
OM=SO=h,~QK=QM=R.
По теореме Пифагора
SB=\sqrt{SO^{2}+OB^{2}}=\sqrt{h^{2}+2h^{2}}=h\sqrt{3},
поэтому
OK=\frac{SO\cdot OB}{SB}=\frac{h\cdot h\sqrt{2}}{h\sqrt{3}}=\frac{h\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Обозначим \angle SBO=\alpha
, OQ=x
. Тогда
\cos\alpha=\frac{OB}{SB}=\frac{h\sqrt{2}}{h\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},
SQ=SO+OQ=h+x,~SQ\cos\alpha=QE=QM,~\mbox{или}~(h+x)\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{h^{2}+x^{2}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{2}{3}(h+x)^{2}=h^{2}+x^{2}~\Leftrightarrow~x^{2}+h^{2}=4xh~\Leftrightarrow~x^{2}-4hx+h^{2}=0~\Leftrightarrow~x=h(2\pm\sqrt{3}).
Следовательно,
R^{2}=QM^{2}=OQ^{2}+OM^{2}=x^{2}+h^{2}=4xh,
откуда
R=\sqrt{4xh}=2\sqrt{xh}=2\sqrt{h^{2}(2\pm\sqrt{3})}=2h\sqrt{2\pm\sqrt{3})}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2017-2018, закл. тур, компл. 1, 11 класс, задача 6, вариант 1