14776. Сколько решений имеет система
(x+1)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=x^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=1?
Ответ. Система не имеет решений.
Решение. Уравнение (x+1)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=1
задаёт сферу с центром O_{1}(-1;1;0)
и радиусом 1, уравнение x^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}=1
задаёт сферу с центром O_{2}(0;-1;1)
и радиусом 1, уравнение (x-1)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=1
задаёт сферу с центром O_{1}(1;0;-1)
и радиусом 1.
Расстояние между центрами первой и второй сфер равно
O_{1}O_{2}=\sqrt{((0-(-1))^{2}+(-1-1)^{2}+(1-0)^{2}}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.
Аналогично, O_{1}O_{3}=\sqrt{6}
и O_{2}O_{3}=\sqrt{6}
.
Сумма радиусов любых двух сфер равна 2, а так как \sqrt{6}\gt2
, то сферы не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 8.1, с. 69