14779. Решите систему уравнений
\syst{x+y+z=3\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.\\}
Ответ. x=y=z=1
.
Решение. Заметим, что x=y=z=1
— решение системы. Докажем, что других решений нет.
Действительно, в прямоугольной системе координат Oxyz
уравнение x+y+z=3
задаёт плоскость, а уравнение x^{2}+y^{2}+z^{2}=3
— сферу с центром в начале координат и радиусом \sqrt{3}
. Расстояние от начала координат до этой плоскости равно
\frac{|1\cdot0+1\cdot0+1\cdot0-3|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{3},
поэтому плоскость касается сферы. Следовательно, система не может иметь более одного решения.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 8.1, с. 71