1478. Окружность радиуса r
касается изнутри окружности радиуса R
в точке A
. Прямая, перпендикулярная линии центров, пересекает одну окружность в точке B
, другую — в точке C
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. \sqrt{rR}
.
Решение. Предположим, что точка B
лежит на окружности радиуса r
, точка C
— на окружности радиуса R
, а r\lt R
. Пусть M
— точка пересечения линии центров этих окружностей с прямой BC
, AP
и AQ
— диаметры соответственно меньшей и большей окружностей, \rho
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Обозначим AM=h
, \angle ACB=\varphi
. Из прямоугольных треугольников ABP
, ACQ
и AMC
находим, что
AB^{2}=AP\cdot AM=2rx,~AC^{2}=AQ\cdot AM=2Rx,~\sin\varphi=\frac{AM}{AC}=\frac{x}{\sqrt{2Rx}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2R}}.
Следовательно,
\rho=\frac{AB}{2\sin\varphi}=\frac{\sqrt{2rx}}{2\cdot\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2R}}}=\sqrt{rR}.
Аналогично для r\gt R
.