14781. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения \sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}
, если a+b+c=1
.
Ответ. \sqrt{7}
и \sqrt{21}
.
Решение. Пусть \sqrt{4a+1}=x\geqslant0
, \sqrt{4b+1}=y\geqslant0
, \sqrt{4c+1}=z\geqslant0
. Тогда
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4(a+b+c)+3=7.
Найдём наибольшее и наименьшее значения суммы S=x+y+z
при неотрицательных x
, y
и z
. Уравнение x^{2}+y^{2}+z^{2}=7
в прямоугольной системе координат Oxyz
задаёт сферу с центром O(0;0;0)
и радиусом R=\sqrt{7}
. Среди точек этой сферы, имеющих неотрицательные координаты, найдём те, для которых сумма S
координат: 1) наименьшая; 2) наибольшая. Пусть P(x;y;z)
— точка принадлежащая указанной части сферы.
1) Если P
не лежит ни на одной из координатных осей, то разложим вектор \overrightarrow{OP}=(x;y;z)
по трём некомпланарным векторам \overrightarrow{OA}=(x;0;0)
,\overrightarrow{OB}=(0;y;0)
и \overrightarrow{OC}=(0;0;z)
. Получим
\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}~\Rightarrow~|\overrightarrow{OP}|=|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}|\lt|\overrightarrow{OA}|+|\overrightarrow{OB}|+|\overrightarrow{OC}|~\Rightarrow
\Rightarrow~\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\lt x+y+z~\Rightarrow~x+y+z\gt\sqrt{7}.
Если же точка P
лежит на координатной оси, то x+y+z=\sqrt{7}
.
Следовательно, наименьшее значение суммы x+y+z
равно \sqrt{7}
.
2) Рассмотрим векторы \overrightarrow{OP}=(x;y;z)
и \overrightarrow{e}=(1;1;1)
. Искомое значение S
равно скалярному произведению этих векторов. Значит,
S=x+y+z=\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{e}=|\overrightarrow{OP}|\cdot|\overrightarrow{e}|\cdot\cos\angle(\overrightarrow{OP};\overrightarrow{e})\leqslant|\overrightarrow{OP}|\cdot|\overrightarrow{e}|=
=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\cdot\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{21},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы \overrightarrow{OP}
и \overrightarrow{e}
сонаправлены, т. е. x=y=z
. Следовательно, наибольшее значение суммы x+y+z
достигается в точке сферы, имеющей одинаковые координаты, и равно \sqrt{21}
(оно достигается при a=b=c=\frac{1}{3}
).
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 8.7, с. 71