14782. Докажите, что если 0\lt x\lt1
, 0\lt y\lt1
и 0\lt z\lt1
, то
x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)\lt1.
Решение. Рассмотрим куб с ребром 1. Выберем три ребра, исходящие из одной вершины и отложим на них отрезки, равные x
, y
и z
. Построим три прямоугольных параллелепипеда с размерами
x\times(1-y)\times1,~y\times(1-z)\times1,~z\times(1-x)\times1
(см. рис.).
Эти параллелепипеды не имеют общих внутренних точек, поэтому сумма их объёмов меньше объёма куба, т. е.
x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)\lt1.
Что и требовалось доказать.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д48, с. 94