14783. Найдите наименьшее значение выражения
\sqrt{x^{2}+a^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+b^{2}+9}+\sqrt{z^{2}+c^{2}+25},
если x+y+z=2
, a+b+c=6
и все переменные принимают только неотрицательные значения.
Ответ. 11.
Решение. Рассмотрим три прямоугольных параллелепипеда с размерами
x\times a\times1,~y\times b\times3,~z\times c\times5
(какие-то из параллелепипедов могут оказаться вырожденными). Заметим, что слагаемые в данной сумме радикалов соответственно равны длинам диагоналей этих параллелепипедов. Расположим параллелепипеды в виде «цепочки» так, как показано на рисунке (соответствующие рёбра параллельны). Тогда их диагонали образуют трёхзвенную ломаную ABCD
.
Построим теперь прямоугольный параллелепипед с диагональю AD
, грани которого соответственно параллельны граням ранее построенных параллелепипедов. Поскольку по условию x+y+z=2
и a+b+c=6
, его размеры 2\times6\times9
, следовательно,
AD=\sqrt{2^{2}+6^{2}+9^{2}}=\sqrt{121}=11.
Сумма длин звеньев ломаной ABCD
не меньше диагонали AD
, причём равенство достигается, если точки B
и C
лежат на этой диагонали. Для этого соответствующие значения переменных должны быть пропорциональны числам 1, 3 и 5, т. е.
x:y:z=a:b:c=1:3:5.
Таким образом, наименьшее значение равно 11 и достигается, если
x=1\cdot\frac{2}{9}=\frac{2}{9},~y=3\cdot\frac{2}{9}=\frac{2}{3},~z=5\cdot\frac{2}{9}=\frac{10}{9},
a=1\cdot\frac{6}{9}=\frac{2}{3},~b=3\cdot\frac{6}{9}=2,~c=5\cdot\frac{6}{9}=\frac{10}{3}.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д50, с. 94