14784. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
(a-d)^{2}+(b+p)^{2}+(c-q)^{2}
, если
\syst{a^{2}+b^{2}+c^{2}=9\\d^{2}+p^{2}+q^{2}=16.}

Ответ. 49 и 1.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат
Oxyz
и точки
M(a;b;c)
и
N(d;-p;q)
, первая из которых лежит на сфере с центром в начале координат и радиусом 3, а вторая на сфере с тем же центром и радиусом 4. Наибольшее из расстояний между точками этих сфер равно сумме их радиусов, т. е.
3+4=7
; наименьшее — разности радиусов, т. е.
4-3=1
. Поскольку
(a-d)^{2}+(b+p)^{2}+(c-q)^{2}=MN^{2}
, то искомые значения равны 49 и 1 соответственно. Первое достигается, например, при
a=d=c=q=0,~b=3~p=4,

второе — при
a=d=c=q=0,~b=3,~p=-4.

Источник: Шестаков С. А. ЕГЭ 2022. Математика. Задачи с параметром. — М.: МЦНМО, 2022. — пример 4, с. 210