14785. Найдите угол между соседними гранями правильного октаэдра.
Ответ. \arccos\frac{1}{3}
.
Решение. Пусть ABCD
— квадрат со стороной 1, точки E
и F
— вершины правильных четырёхугольных пирамид с общим основанием ABCD
, симметричных относительной плоскости квадрата и противоположные боковые рёбра которых попарно перпендикулярны. Тогда высоты этих пирамид равны половине диагонали квадрата, т. е. \frac{\sqrt{2}}{2}
, а все боковые рёбра равны 1. Фигура, состоящая из этих двух пирамид и есть правильный октаэдр.
Его диагонали AC
и EF
точкой пересечения делятся пополам, поэтому AF\parallel CE
. Аналогично, DF\parallel BE
. Значит, грани AFD
и CEB
лежат в параллельных плоскостях, и поэтому угол между эти гранями равен двугранному углу между плоскостями граней BEC
и AFD
.
Плоскости BEC
и AFD
, проходящие через параллельные прямые AD
и BC
, пересекаются по прямой, проходящей через точку E
параллельно эти прямым. Значит, линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями, равен углу между апофемами правильной пирамиды EM
и EN
, лежащими в гранях BEC
и AFD
соответственно, т. е. углу MEN
.
Из треугольника MEN
со сторонами EM=EN=\frac{\sqrt{3}}{2}
и MN=1
находим
\cos\angle MEN=\frac{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-1}{2\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}.
Следовательно, \angle MEN=\arccos\frac{1}{3}
.