14786. Грани правильного октаэдра раскрасили в шахматном порядке. Докажите, что для любой внутренней точки сумма расстояний до плоскостей чёрных граней равна сумме расстояний до плоскостей белых граней.
Решение. Заметим, что плоскости, которым принадлежат грани каждого цвета, образуют равные правильные тетраэдры. Действительно, если ABCDE
и ABCDF
— две правильные четырёхугольные пирамиды с общим основанием ABCD
, из которых состоит правильный октаэдр, то плоскости «чёрных» граней AED
и BEC
пересекаются по прямой l
, проходящей через вершину E
параллельно ребру BC
. Аналогично, плоскости «чёрных» граней BEC
и CFD
пересекаются по прямой l
, проходящей через вершину C
параллельно ребру BE
, а плоскости «чёрных» граней BEC
и AFB
пересекаются по прямой n
, проходящей через вершину B
параллельно ребру CE
.
Прямые l
, m
и n
, лежащие в плоскости BEC
, попарно пересекаются в вершинах треугольника (подобного равностороннему треугольнику BCE
с коэффициентом 2) — грани тетраэдра с «чёрными» гранями. Аналогично строятся остальные три грани этого тетраэдра. Таким образом построен правильный тетраэдр с «чёрными» гранями. Аналогично строится правильный тетраэдр с «белыми» гранями.
Утверждение задачи следует из того, что сумма расстояний от внутренней точки правильного тетраэдра до его граней постоянна и равна утроенному объёму тетраэдра, делённому на площадь грани. (Чтобы доказать это, соединим точку с вершинами правильного тетраэдра и рассмотрим объёмы образовавшихся треугольных пирамид, основания которых — грани исходного тетраэдра.)
Примечание. Наметим другое доказательство. Каждую грань октаэдра будем считать основанием тетраэдра с вершиной в данной внутренней точке. Нужно доказать, что сумма объёмов четырёх «чёрных» тетраэдров равна сумме объёмов четырёх «белых». Всякое сечение октаэдра, перпендикулярное его диагонали, по равной площади пересекается с «чёрными» и «белыми»? тетраэдрами. Тогда из принципа Кавальери, следует, что равны объёмы двух рассмотренных правильных тетраэдров.
Автор: Терёшин Д. А.
Источник: Журнал «Квант». — 1999, № 4, с. 18, M1691; 2000, № 1, с. 23
Источник: Задачник «Кванта». — 1999, № 4, M1691