14788. В куб с ребром a
вписан шар. Через середины смежных рёбер куба проведена плоскость, касающаяся шара. Найдите площадь сечения куба этой плоскостью.
Ответ. \frac{3a^{2}}{8}
.
Решение. Пусть указанная в условии плоскость проходит через середины M
и N
рёбер соответственно AB
и AD
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, касается вписанного в куб шара с центром I
в точке P
, пересекает ребро AA_{1}
в точке K
, O
— центр грани ABCD
, а KH
— высота равнобедренного треугольника KMN
, опущенная на основание. Тогда IO=IP=\frac{a}{2}
— радиус шара.
Рассмотрим сечение куба и шара плоскостью AA_{1}C_{1}C
. Поскольку H
— середина отрезка OA
, получаем, что
HP=OH=\frac{a\sqrt{2}}{4}.
Обозначим через \alpha
острый угол OIH
прямоугольного треугольника IOH
с гипотенузой
IH=\sqrt{IO^{2}+OH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.
Далее находим, что
\sin\alpha=\frac{OH}{IH}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Четырёхугольник OHPI
с прямыми углами при вершинах O
и P
вписан в окружность с диаметром IH
, а IH
— биссектриса угла OIP
, поэтому
\angle AHK=\angle OIP=2\alpha.
Из прямоугольного треугольника AHK
получаем, что
KH=\frac{AH}{\cos2\alpha}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}=\frac{a\sqrt{2}}{4\cdot\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right)}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}.
Следовательно,
S_{\triangle KMN}=\frac{1}{2}MN\cdot KH=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3a\sqrt{2}}{4}=\frac{3a^{2}}{8}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1973, задача 4, вариант 3
Источник: Журнал «Квант». — 1974, № 2, с. 53, задача 4