1479. В полукруге из концов диаметра проведены две пересекающиеся хорды. Докажите, что сумма произведений отрезка каждой хорды, примыкающего к диаметру, на всю хорду равна квадрату диаметра.
Решение. Пусть хорды AC
и BD
пересекаются в точке M
. Положим AM=x
, CM=y
, BM=u
, DM=v
, AB=2R
. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд xy=uv
. Точки D
и C
лежат на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle ADM=\angle ADB=\angle ACB=90^{\circ}
. Следовательно,
AM\cdot AC+BM\cdot BD=x(x+y)+u(u+v)=x^{2}+xy+u^{2}+uv=x^{2}+2uv+u^{2}=
=v^{2}+2uv+u^{2}+x^{2}-v^{2}=(u+v)^{2}+x^{2}-v^{2}=BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}=4R^{2}.
Что и требовалось доказать.