14790. Пусть AB
и CD
— различные касательные к двум данным шарам (A
и C
принадлежат поверхности одного шара, B
и D
— другого). Докажите, что проекции отрезков AC
и BD
на линию центров шаров равны.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
центры шаров радиусов r_{1}
и r_{2}
соответственно,
O_{1}O_{2}=d,~AB=l,~CD=m,~\angle AO_{1}O_{2}=\varphi,~\angle CO_{1}O_{2}=\psi.
Тогда проекция A'C'
отрезка AC
на прямую O_{1}O_{2}
равна
|AO_{1}\cos\varphi-CO_{1}\cos\psi|=|r_{1}\cos\varphi-r_{1}\cos\psi|.\eqno(1)
По теореме косинусов
AO_{2}^{2}=r_{1}^{2}+d^{2}-2r_{1}d\cos\varphi.\eqno(2)
Из прямоугольного треугольника ABO_{2}
по теореме Пифагора
AO_{2}^{2}=AB^{2}+B_{2}O^{2}=l^{2}+r_{2}^{2}.\eqno(3)
Из (2) и (3) получаем
2r_{1}d\cos\varphi=r_{1}^{2}+d^{2}-r_{2}^{2}-l^{2}.\eqno(4)
Аналогично,
2r_{1}d\cos\psi=r_{1}^{2}+d^{2}-r_{2}^{2}-m^{2}.\eqno(5)
Из (4) вычтем (5) и раздели результат на 2d
. Получим, что проекция отрезка AC
на прямую O_{1}OO_{2}
равна
A'C'=\frac{|l^{2}-m^{2}|}{2d}.
Аналогично получим, что такова и проекция отрезка BD
.
Автор: Шарыгин И. Ф.
Источник: Журнал «Квант». — 1974, № 3, с. 34, М255; 1974, № 11, с. 44, М255
Источник: Задачник «Кванта». — 1974, M255