14791. Пусть шар касается всех рёбер некоторого многогранника. Докажите, что:
а) каждая грань многогранника пересекает поверхность шара по окружности, касающейся рёбер многогранника, т. е. по окружности, вписанной в грань (тем самым грани многогранника — описанные многоугольники);
б) основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на любую грань многогранника, — центр окружности, вписанной в эту грань;
в) перпендикуляры, восставленные к плоскостям граней из центров вписанных окружностей, пересекаются в одной точке — в центре шара;
г) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра шара на ребро многогранника, равен радиусу шара.
Решение. а) Поскольку шар имеет единственную общую точку с каждой стороной грани, то окружность сечения сферы, ограничивающей шар, плоскостью этой грани имеет единственную общую точку с каждой стороной грани. Следовательно, окружность сечения вписана в эту грань.
б) Основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на сечение шара плоскостью, удалённой от центра на расстояние, меньшее радиуса, — центр окружности сечения, а эта окружность вписана в грань многогранника.
в) Из предыдущего пункта следует, что перпендикуляры, восставленные к плоскостям граней из центров окружностей, вписанных в эти грани, проходят через центр шара.
г) Точки касания шара с каждым ребром такого многогранника лежат на поверхности шара, а радиус, проведённый в точку касания сферы с ребром перпендикулярен этому ребру.
Примечание. См. также статью М.Л.Крайзмана «Шар, касающийся рёбер многогранника», Квант, 1974, N12, с.55-59.
Источник: Журнал «Квант». — 1974, № 12, с. 55