14793. Дана n
-угольная призма, для которой существует шар, касающийся всех её граней, и шар, касающийся всех её рёбер. Какая это призма?
Ответ. Куб.
Решение. Поскольку существует шар, касающийся рёбер призмы, эта призма правильная (см. задачу 14792) и её боковые грани — квадраты, а так как в призму можно вписать шар, то отрезок MM_{1}
, соединяющий середины соответствующих сторон оснований, равен боковому ребру AA_{1}
и отрезку OO_{1}
, соединяющему центры оснований (т. е. диаметру 2r
вписанного шара). Тогда
OM=AM\ctg\angle AOM=\frac{1}{2}AB\ctg\frac{180^{2}}{n}.
С другой стороны, отрезок OM
равен радиусу вписанного в призму шара, т. е.
OM=\frac{1}{2}OO_{1}=\frac{1}{2}AA_{1}=\frac{1}{2}AB.
Из равенства
\frac{1}{2}AB\ctg\frac{180^{\circ}}{n}=\frac{1}{2}AB
получаем
\ctg\frac{180^{\circ}}{n}=1~\Rightarrow~\frac{180^{\circ}}{n}=45^{\circ}~\Rightarrow~n=\frac{180^{\circ}}{45^{\circ}}=4.
Следовательно, данная призма — куб.
Источник: Журнал «Квант». — 1974, № 12, с. 55