14795. В правильную треугольную усечённую пирамиду с двугранным углом \alpha
при основании вписан усечённый конус. Найдите боковую поверхность конуса, если апофема усечённой пирамиды равна сумме радиусов оснований усечённого конуса, а радиус меньшего основания конуса равен r
.
Ответ. \frac{\pi r^{2}}{\sin^{4}\frac{\alpha}{2}}
.
Решение. Рассмотрим правильную треугольную усечённую пирамиду ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
. Пусть O
и O_{1}
— центры соответственно большего и меньшего оснований ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
, M
и M_{1}
— середины рёбер AB
и A_{1}B_{1}
соответственно.
Отрезок I_{1}M_{1}=r
— радиус вписанной окружности меньшего основания усечённого конуса, вписанного в данную усечённую пирамиду, IMM_{1}
— линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.
Пусть MM_{1}=l
— апофема данной усечённой пирамиды, R
— радиус большего основания усечённого конуса, S
— площадь боковой поверхности усечённого конуса. Требуется найти S=\pi(r+R)l
.
Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M_{1}
на плоскость большего основания усечённой пирамиды. Тогда точка M
лежит на ортогональной проекции наклонной M_{1}M
к этой плоскости, т. е. на прямой IM
, а \angle FMM_{1}=\alpha
. Из прямоугольного треугольника MFM_{1}
получаем
R+r=l=MM_{1}=\frac{MF}{\cos\angle FMM_{1}}=\frac{R-r}{\cos\alpha},
откуда
R=\frac{r(1+\cos\alpha)}{1+\cos\alpha}=\frac{r\cdot2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=r\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}~\Rightarrow~r+R=r+\frac{r\cdot2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}=
=r(1+\ctg^{2}\frac{\alpha}{2})=\frac{r}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}.
Следовательно,
S=\pi(r+R)l=\pi(R+r)\cdot(r+R)=\pi(R+r)^{2}=\frac{\pi r^{2}}{\sin^{4}\frac{\alpha}{2}}.
Источник: Вступительный экзамен в МИФИ. — 1976, задача 2, вариант 2
Источник: Журнал «Квант». — 1976, № 12, с. 56, задача 2