14797. Шесть одинаковых конусов имеют общую вершину, причём каждый из конусов имеет с четырьмя другими по одной общей образующей. Найдите отношение суммы объёмов конусов к объёму шара, касающегося плоскостей оснований всех конусов.
Ответ. 3:2
.
Решение. Рассмотрим куб и поместим в него шесть одинаковых конусов с общей вершиной в центре куба и с основаниями, вписанными в грани куба. При этом каждый из шести конусов будет иметь с четырьмя другими по одной общей образующей, а шар, касающийся оснований конусов, будет вписан в куб.
Пусть ребро куба равно a
. Тогда радиус основания каждого конусов будет равен \frac{a}{2}
, высота равна \frac{a}{2}
, объём V
равен
V=\frac{1}{3}\pi\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\cdot\frac{a}{2}=\frac{\pi a^{3}}{24},
а сумма объёмов всех шести конусов равна 6V=\frac{\pi a^{3}}{4}
. Поскольку объём V_{1}
шара равен
V_{1}=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{3}=\frac{\pi a^{3}}{6},
то
\frac{6V}{V_{1}}=\frac{\frac{\pi a^{3}}{4}}{\frac{\pi a^{3}}{6}}=\frac{3}{2}.
Примечание. См. также статью И.Г.Габовича «Конусы в каркасах», Квант, 1977, N2, с.47-49.
Источник: Вступительный экзамен в Киевский политехнический институт. — 1970
Источник: Журнал «Квант». — 1977, № 2, с. 49, пример 4