14800. В шар радиуса R
вписана правильная треугольная пирамида, причём плоскость основания пирамиды делит перпендикулярный к ней радиус шара в отношении 3:7
, считая от центра шара. Найдите объём конуса, вписанного в пирамиду.
Ответ. \frac{1183\pi R^{3}}{12000}
или \frac{637\pi R^{3}}{12000}
.
Решение. Пусть DO_{1}
— высота правильной треугольной пирамиды ABCD
с вершиной D
, DD_{1}
— диаметр шара, M
— середина стороны BC
основания, O
— центр шара радиуса R
, описанного около пирамиды, h
— высота пирамиды, r
— радиус основания конуса, вписанного пирамиду, V
— объём конус. Тогда O_{1}M=r
и OA_{1}A=2r
.
Рассмотрим случай, когда центр O
шара лежит на высоте DO_{1}
пирамиды, а не её продолжении. Положим OO_{1}=3x
и D_{1}O_{1}=7x
. Тогда
OD_{1}=7x+3x=10x,~DD_{1}=20x,~DO_{1}=20x-7x=13x.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью AOD
. Отрезок AO_{1}
— высота прямоугольного треугольника DAD_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
AO_{1}^{2}=D_{1}O_{1}\cdot DO_{1},~\mbox{или}~4r^{2}=7x\cdot13x=91x^{2},
при этом 2R=20x
, поэтому x=\frac{R}{10}
, а h=DO_{1}=13x
. Следовательно,
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{91x^{2}}{4}\cdot13x=\frac{1}{12}\pi\cdot91\cdot13\cdot x^{3}=\frac{1}{12}\pi\cdot91\cdot13\cdot\frac{R^{3}}{1000}=\frac{1183\pi R^{3}}{12000}.
Если же точка O
лежит на продолжении высоты DO
, то аналогично получим, что V=\frac{637\pi R^{3}}{12000}
.
Источник: Вступительный экзамен в МИФИ. — 1977, задача 2, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1978, № 1, с. 53, задача 2, вариант 1